微分方程$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$

本讲主要讲解解一阶方程（first-order system）一阶倒数（first derivative）常系数（constant coefficient）线性方程，上一讲介绍了如何计算矩阵的幂，本讲将进一步涉及矩阵的指数形式。我们通过解一个例子来详细介绍计算方法。

有方程组$\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}{u}_1}{\mathrm{d}t}& =-u_1+2u_2\\ \frac{\mathrm{d}{u}_2}{\mathrm{d}t}& =u_1-2u_2\end{array}$，则系数矩阵是$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -2\end{array}\right]$，设初始条件为在$0$时刻$u(0)=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。

• 这个初始条件的意义可以看做在开始时一切都在$u_1$中，但随着时间的推移，将有$\frac{\mathrm{d}{u}_2}{\mathrm{d}t}>0$，因为$u_1$项初始为正，$u_1$中的事物会流向$u_2$。随着时间的发展我们可以追踪流动的变化。

• 根据上一讲所学的知识，我们知道第一步需要找到特征值与特征向量。$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -2\end{array}\right]$，很明显这是一个奇异矩阵，所以第一个特征值是${\lambda }_1=0$，另一个特征向量可以从迹得到$tr(A)=-3$。当然我们也可以用一般方法计算$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 2\\ 1& -2-\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2+3\lambda =0$。

  （教授提前剧透，特征值${\lambda }_2=-3$将会逐渐消失，因为答案中将会有一项为$e^{-3t}$，该项会随着时间的推移趋近于$0$。答案的另一部分将有一项为$e^{0t}$，该项是一个常数，其值为$1$，并不随时间而改变。通常含有$0$特征值的矩阵会随着时间的推移达到稳态。）

• 求特征向量，${\lambda }_1=0$时，即求$A$的零空间，很明显$x_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$；${\lambda }_2=-3$时，求$A+3I$的零空间，$\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$的零空间为$x_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$。

• 则方程组的通解为：$u(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{x}_2$，通解的前后两部分都是该方程组的纯解，即方程组的通解就是两个与特征值、特征向量相关的纯解的线性组合。我们来验证一下，比如取$u=e^{{\lambda }_{1}t}{x}_1$带入$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$，对时间求导得到${\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1=A{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1$，化简得${\lambda }_1{x}_1=A{x}_1$。

  对比上一讲，解$u_{k+1}=A{u}_k$时得到$u_k=c_1{\lambda }^k{x}_1+c_2{\lambda }^k{x}_2$，而解$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$我们得到$u(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{x}_2$。

• 继续求$c_1,c_2$，$u(t)=c_1\cdot 1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\cdot e^{-3t}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$，已知$t=0$时，$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$（$Sc=u(0)$），所以$c_1=\frac{1}{3},c_2=\frac{1}{3}$。

• 于是我们写出最终结果，$u(t)=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+\frac{1}{3}{e}^{-3t}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$。

稳定性：这个流动过程从$u(0)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$开始，初始值$1$的一部分流入初始值$0$中，经过无限的时间最终达到稳态$u(\mathrm{\infty })=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]$。所以，要使得$u(t)\to 0$，则需要负的特征值。但如果特征值为复数呢？如$\lambda =-3+6i$，我们来计算$\left|e^{(-3+6i)t}\right|$，其中的$\left|e^{6it}\right|$部分为$|\cos 6t+i\sin 6t|=1$，因为这部分的模为${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$，这个虚部就在单位圆上转悠。所以只有实数部分才是重要的。所以我们可以把前面的结论改为需要实部为负数的特征值。实部会决定最终结果趋近于$0$或$\mathrm{\infty }$，虚部不过是一些小杂音。

收敛态：需要其中一个特征值实部为$0$，而其他特征值的实部皆小于$0$。

发散态：如果某个特征值实部大于$0$。上面的例子中，如果将$A$变为$-A$，特征值也会变号，结果发散。

再进一步，我们想知道如何从直接判断任意二阶矩阵的特征值是否均小于零。对于二阶矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，矩阵的迹为$a+d={\lambda }_1+{\lambda }_2$，如果矩阵稳定，则迹应为负数。但是这个条件还不够，有反例迹小于$0$依然发散：$\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，迹为$-1$但是仍然发散。还需要加上一个条件，因为$detA={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2$，所以还需要行列式为正数。

总结：原方程组有两个相互耦合的未知函数，$u_1,u_2$相互耦合，而特征值和特征向量的作则就是解耦，也就是对角化（diagonalize）。回到原方程组$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$，将$u$表示为特征向量的线性组合$u=Sv$，代入原方程有$S\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=ASv$，两边同乘以$S^{-1}$得$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=S^{-1}ASv=\mathrm{\Lambda }v$。以特征向量为基，将$u$表示为$Sv$，得到关于$v$的对角化方程组，新方程组不存在耦合，此时$\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}{v}_1}{\mathrm{d}t}& ={\lambda }_1{v}_1\\ \frac{\mathrm{d}{v}_2}{\mathrm{d}t}& ={\lambda }_2{v}_2\\ ⋮& ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{v}_n}{\mathrm{d}t}& ={\lambda }_n{v}_n\end{array}$，这是一个各未知函数间没有联系的方程组，它们的解的一般形式为$v(t)=e^{\mathrm{\Lambda }t}v(0)$，则原方程组的解的一般形式为$u(t)=e^{At}u(0)=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}u(0)$。这里引入了指数部分为矩阵的形式。

指数矩阵$e^{At}$

在上面的结论中，我们见到了$e^{At}$。这种指数部分带有矩阵的情况称为指数矩阵（exponential matrix）。

理解指数矩阵的关键在于，将指数形式展开称为幂基数形式，就像$e^x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$一样，将$e^{At}$展开成幂级数的形式为：

$$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2}+\frac{(At{)}^3}{6}+\cdots +\frac{(At{)}^n}{n!}+\cdots$$

再说些题外话，有两个极具美感的泰勒级数：$e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$与$\frac{1}{1-x}=\sum x^n$，如果把第二个泰勒级数写成指数矩阵形式，有$(I-At{)}^{-1}=I+At+(At{)}^2+(At{)}^3+\cdots$，这个式子在$t$非常小的时候，后面的高次项近似等于零，所以可以用来近似$I-At$的逆矩阵，通常近似为$I+At$，当然也可以再加几项。第一个级数对我们而言比第二个级数好，因为第一个级数总会收敛于某个值，所以$e^x$总会有意义，而第二个级数需要$A$特征值的绝对值小于$1$（因为涉及矩阵的幂运算）。我们看到这些泰勒级数的公式对矩阵同样适用。

回到正题，我们需要证明$S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}=e^{At}$，继续使用泰勒级数：

$$\begin{gathered} e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2}+\frac{(At{)}^3}{6}+\cdots +\frac{(At{)}^n}{n!}+\cdots \\ {e}^{At}=S{S}^{-1}+S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}t+\frac{S{\mathrm{\Lambda }}^2{S}^{-1}}{2}{t}^2+\frac{S{\mathrm{\Lambda }}^3{S}^{-1}}{6}{t}^3+\cdots +\frac{S{\mathrm{\Lambda }}^n{S}^{-1}}{n!}{t}^n+\cdots \\ {e}^{At}=S(I+\mathrm{\Lambda }t+\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2{t}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Lambda }}^3{t}^3}{3}+\cdots +\frac{{\mathrm{\Lambda }}^n{t}^n}{n}+\cdots )S^{-1} \\ {e}^{At}=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1} \end{gathered}$$

需要注意的是，$e^{At}$的泰勒级数展开是恒成立的，但我们推出的版本却需要矩阵可对角化这个前提条件。

最后，我们来看看什么是$e^{\mathrm{\Lambda }t}$，我们将$e^{At}$变为对角矩阵就是因为对角矩阵简单、没有耦合，$e^{\mathrm{\Lambda }t}=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0& \cdots & 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$。

有了$u(t)=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}u(0)$，再来看矩阵的稳定性可知，所有特征值的实部均为负数时矩阵收敛，此时对角线上的指数收敛为$0$。如果我们画出复平面，则要使微分方程存在稳定解，则特征值存在于复平面的左侧（即实部为负）；要使矩阵的幂收敛于$0$，则特征值存在于单位圆内部（即模小于$1$），这是幂稳定区域。（上一讲的差分方程需要计算矩阵的幂。）

同差分方程一样，我们来看二阶情况如何计算，有$y^{″}+b{y}^{\prime }+k=0$。我们也模仿差分方程的情形，构造方程组$\{\begin{array}{ll}{y}^{″}& =-b{y}^{\prime }-ky\\ y^{\prime }& =y^{\prime }\end{array}$，写成矩阵形式有$\left[\begin{array}{c}{y}^{″}\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-b& -k\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ y\end{array}\right]$，令$u^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{y}^{″}\\ y^{\prime }\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ y\end{array}\right]$。

继续推广，对于$5$阶微分方程$y^{\prime \prime \prime \prime \prime }+b{y}^{⁗}+c{y}^{‴}+d{y}^{″}+e{y}^{\prime }+f=0$，则可以写作$\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }\\ y^{⁗}\\ y^{‴}\\ y^{″}\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-b& -c& -d& -e& -f\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{⁗}\\ y^{‴}\\ y^{″}\\ y^{\prime }\\ y\end{array}\right]$，这样我们就把一个五阶微分方程化为$5\times 5$一阶方程组了，然后就是求特征值、特征向量了步骤了。