第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解

举例：$3\times 4$矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$，求$Ax=0$的特解：

找出主变量（pivot variable）：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}}\left[\begin{array}{cccc}\underset{―}{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \underset{―}{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=U$$

主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵$A$的秩（rank）为2，即$r=2$。

主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。

自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为$n-r=4-2=2$。

**通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。**如，令$x_2=1,x_4=0$求得特解 $x=c_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$； 再令$x_2=0,x_4=1$求得特解 $x=c_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$。

该例还能进一步简化，即将$U$矩阵化简为$R$矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是$0$：

$$U=\left[\begin{array}{cccc}\underset{―}{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \underset{―}{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{化}\mathrm{简}}\left[\begin{array}{cccc}\underset{―}{1}& 2& 0& -2\\ 0& 0& \underset{―}{1}& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$$

将$R$矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到

$$R=\left[\begin{array}{cccc}\underset{―}{1}& 2& 0& -2\\ 0& 0& \underset{―}{1}& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{列}\mathrm{交}\mathrm{换}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]\text{，其中}I\text{为单位矩阵，}F\text{为自由变量组成的矩阵}$$

计算零空间矩阵$N$（nullspace matrix），其列为特解，有$RN=0$。

$$\begin{gathered} x_{pivot}=-F{x}_{free} \\ \left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{pivot}\\ x_{free}\end{array}\right]=0 \\ N=\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right] \end{gathered}$$

在本例中 $N=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -2\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，与上面求得的两个$x$特解一致。

另一个例子，矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 2& 6& 8\\ 2& 8& 10\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{化}\mathrm{简}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=R$

矩阵的秩仍为$r=2$，有$2$个主变量，$1$个自由变量。

同上一例，取自由变量为$x_3=1$，求得特解 $x=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$