从${\mathbb{R}}^2$空间讲起，有向量$a,b$，做$b$在$a$上的投影$p$，如图：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd

plt.style.use("seaborn-dark-palette")

fig = plt.figure()
plt.axis('equal')
plt.axis([-7, 7, -6, 6])
plt.arrow(-4, -1, 8, 2, head_width=0.3, head_length=0.5, color='r', length_includes_head=True)
plt.arrow(0, 0, 2, 4, head_width=0.3, head_length=0.5, color='b', length_includes_head=True)
plt.arrow(0, 0, 48/17, 12/17, head_width=0.3, head_length=0.5, color='gray', length_includes_head=True)
plt.arrow(48/17, 12/17, 2-48/17, 4-12/17, head_width=0.3, head_length=0.5, color='g', length_includes_head=True)
# plt.plot([48/17], [12/17], 'o')
# y=1/4x
# y=-4x+12
# x=48/17
# y=12/17
plt.annotate('b', xy=(1, 2), xytext=(-30, 15), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('a', xy=(-1, -0.25), xytext=(15, -30), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('e=b-p', xy=(2.5, 2), xytext=(30, 0), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('p=xa', xy=(2, 0.5), xytext=(-20, -40), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.grid()

plt.close(fig)

从图中我们知道，向量$e$就像是向量$b,p$之间的误差，$e=b-p,e\mathrm{\perp }p$。$p$在$a$上，有$\underset{―}{p=ax}$。

所以有$a^{T}e=a^T(b-p)=a^T(b-ax)=0$。关于正交的最重要的方程：

$$\begin{gathered} a^T(b-xa)=0 \\ \underset{―}{x{a}^{T}a=a^{T}b} \\ \underset{―}{x=\frac{a^{T}b}{a^{T}a}} \\ p=a\frac{a^{T}b}{a^{T}a} \end{gathered}$$

从上面的式子可以看出，如果将$b$变为$2b$则$p$也会翻倍，如果将$a$变为$2a$则$p$不变。

设投影矩阵为$P$，则可以说投影矩阵作用与某个向量后，得到其投影向量，$projectio{n}_p=Pb$。

易看出$\underset{―}{P=\frac{a{a}^T}{a^{T}a}}$，若$a$是$n$维列向量，则$P$是一个$n\times n$矩阵。

观察投影矩阵$P$的列空间，$C(P)$是一条通过$a$的直线，而$rank(P)=1$（一列乘以一行：$a{a}^T$，而这一列向量$a$是该矩阵的基）。

投影矩阵的性质：

• $\underset{―}{P=P^T}$，投影矩阵是一个对称矩阵。
• 如果对一个向量做两次投影，即$PPb$，则其结果仍然与$Pb$相同，也就是$\underset{―}{P^2=P}$。

为什么我们需要投影？因为就像上一讲中提到的，有些时候$Ax=b$无解，我们只能求出最接近的那个解。

$Ax$总是在$A$的列空间中，而$b$却不一定，这是问题所在，所以我们可以将$b$变为$A$的列空间中最接近的那个向量，即将无解的$Ax=b$变为求有解的$A\hat{x}=p$（$p$是$b$在$A$的列空间中的投影，$\hat{x}$不再是那个不存在的$x$，而是最接近的解）。

现在来看${\mathbb{R}}^3$中的情形，将向量$b$投影在平面$A$上。同样的，$p$是向量$b$在平面$A$上的投影，$e$是垂直于平面$A$的向量，即$b$在平面$A$法方向的分量。 设平面$A$的一组基为$a_1,a_2$，则投影向量$p=\widehat{x_1}{a}_1+\widehat{x_2}{a}_2$，我们更倾向于写作$p=A\hat{x}$，这里如果我们求出$\hat{x}$，则该解就是无解方程组最近似的解。

现在问题的关键在于找$e=b-A\hat{x}$，使它垂直于平面，因此我们得到两个方程 $\{\begin{array}{l}{a}_1^T(b-A\hat{x})=0\\ a_2^T(b-A\hat{x})=0\end{array}$，将方程组写成矩阵形式 $\left[\begin{array}{c}{a}_1^T\\ a_2^T\end{array}\right](b-A\hat{x})=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，即$A^T(b-A\hat{x})=0$。

比较该方程与${\mathbb{R}}^2$中的投影方程，发现只是向量$a$变为矩阵$A$而已，本质上就是$A^{T}e=0$。所以，$e$在$A^T$的零空间中（$e\in N(A^T)$），从前面几讲我们知道，左零空间$\mathrm{\perp }$列空间，则有$e\mathrm{\perp }C(A)$，与我们设想的一致。

再化简方程得$A^{T}Ax=A^{T}b$，比较在${\mathbb{R}}^2$中的情形，$a^{T}a$是一个数字而$A^{T}A$是一个$n$阶方阵，而解出的$x$可以看做两个数字的比值。现在在${\mathbb{R}}^3$中，我们需要再次考虑：什么是$\hat{x}$？投影是什么？投影矩阵又是什么？

• 第一个问题：$\hat{x}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$；
• 第二个问题：$p=A\hat{x}=\underset{―}{A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T}b$，回忆在${\mathbb{R}}^2$中的情形，下划线部分就是原来的$\frac{a{a}^T}{a^{T}a}$；
• 第三个问题：易看出投影矩阵就是下划线部分$P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$。

这里还需要注意一个问题，$P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$是不能继续化简为$P=A{A}^{-1}(A^T{)}^{-1}{A}^T=I$的，因为这里的$A$并不是一个可逆方阵。 也可以换一种思路，如果$A$是一个$n$阶可逆方阵，则$A$的列空间是整个${\mathbb{R}}^n$空间，于是$b$在${\mathbb{R}}^n$上的投影矩阵确实变为了$I$，因为$b$已经在空间中了，其投影不再改变。

再来看投影矩阵$P$的性质：

• $P=P^T$：有 ${[A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T]}^T=A{[(A^{T}A{)}^{-1}]}^T{A}^T$，而$(A^{T}A)$是对称的，所以其逆也是对称的，所以有$A((A^{T}A{)}^{-1}{)}^T{A}^T=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$，得证。
• $P^2=P$：有 $[A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T][A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T]=A(A^{T}A{)}^{-1}[(A^{T}A)(A^{T}A{)}^{-1}]A^T=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$，得证。

最小二乘法

接下看看投影的经典应用案例：最小二乘法拟合直线（least squares fitting by a line）。

我们需要找到距离图中三个点 $(1,1),(2,2),(3,2)$ 偏差最小的直线：$b=C+Dt$。

plt.style.use("seaborn-dark-palette")

fig = plt.figure()
plt.axis('equal')
plt.axis([-1, 4, -1, 3])
plt.axhline(y=0, c='black', lw='2')
plt.axvline(x=0, c='black', lw='2')

plt.plot(1, 1, 'o', c='r')
plt.plot(2, 2, 'o', c='r')
plt.plot(3, 2, 'o', c='r')

plt.annotate('(1, 1)', xy=(1, 1), xytext=(-40, 20), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('(2, 2)', xy=(2, 2), xytext=(-60, -5), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('(3, 2)', xy=(3, 2), xytext=(-18, 20), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))

plt.grid()

plt.close(fig)

根据条件可以得到方程组 $\{\begin{array}{ll}C+D& =1\\ C+2D& =2\\ C+3D& =2\end{array}$，写作矩阵形式 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right]$，也就是我们的$Ax=b$，很明显方程组无解。但是$A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$有解，于是我们将原是两边同时乘以$A^T$后得到的新方程组是有解的，$A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$也是最小二乘法的核心方程。

下一讲将进行最小二乘法的验算。