在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。

EMA的定义

指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。

假设我们有$n$个数据： $[{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n]$

• 普通的平均数： $\bar{v}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\theta }_i$
• EMA： $v_t=\beta \cdot v_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\theta }_t$ ，其中， $v_t$ 表示前 $t$ 条的平均值 ( $v_0=0$ )， $\beta$ 是加权权重值 (一般设为0.9-0.999)。

Andrew Ng在Course 2 Improving Deep Neural Networks (opens new window)中讲到，EMA可以近似看成过去 $1/(1-\beta )$ 个时刻 $v$ 值的平均。

普通的过去 $n$ 时刻的平均是这样的：

$v_t =\frac{(n-1)\cdot v_{t-1}+\theta_t}{n} $

类比EMA，可以发现当 $\beta =\frac{n-1}{n}$ 时，两式形式上相等。需要注意的是，两个平均并不是严格相等的，这里只是为了帮助理解。

实际上，EMA计算时，过去 $1/(1-\beta )$ 个时刻之前的数值平均会decay到 $\frac{1}{e}$ 的加权比例，证明如下。

如果将这里的 $v_t$ 展开，可以得到：

$v_t = \alpha^n v_{t-n} + (1-\alpha)(\alpha^{n-1}\theta_{t-n+1}+ ... +\alpha^0\theta_t) $

其中， $n=\frac{1}{1-\alpha }$ ，代入可以得到 ${\alpha }^n={\alpha }^{\frac{1}{1-\alpha }}\approx \frac{1}{e}$ 。

在深度学习的优化中的EMA

上面讲的是广义的ema定义和计算方法，特别的，在深度学习的优化过程中， ${\theta }_t$ 是$t$时刻的模型权重weights， $v_t$ 是$t$时刻的影子权重（shadow weights）。在梯度下降的过程中，会一直维护着这个影子权重，但是这个影子权重并不会参与训练。基本的假设是，模型权重在最后的$n$步内，会在实际的最优点处抖动，所以我们取最后$n$步的平均，能使得模型更加的鲁棒。

EMA的偏差修正

实际使用中，如果令 $v_0=0$ ，且步数较少，ema的计算结果会有一定偏差。

理想的平均是绿色的，因为初始值为0，所以得到的是紫色的。

因此可以加一个偏差修正（bias correction）：

$v_t = \frac{v_t}{1-\beta^t} $

显然，当t很大时，修正近似于1。

EMA为什么有效

网上大多数介绍EMA的博客，在介绍其为何有效的时候，只做了一些直觉上的解释，缺少严谨的推理，瓦砾在这补充一下，不喜欢看公式的读者可以跳过。

令第n时刻的模型权重（weights）为 $v_n$ ，梯度为 $g_n$ ，可得：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_n& ={\theta }_{n-1}-g_{n-1}\\ & ={\theta }_{n-2}-g_{n-1}-g_{n-2}\\ & =...\\ & ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}{g}_i\end{array}$$

令第n时刻EMA的影子权重为 $v_n$ ，可得：

$$\begin{array}{rl}{v}_n& =\alpha v_{n-1}+(1-\alpha ){\theta }_n\\ & =\alpha (\alpha v_{n-2}+(1-\alpha ){\theta }_{n-1})+(1-\alpha ){\theta }_n\\ & =...\\ & ={\alpha }^n{v}_0+(1-\alpha )({\theta }_n+\alpha {\theta }_{n-1}+{\alpha }^2{\theta }_{n-2}+...+{\alpha }^{n-1}{\theta }_1)\end{array}$$

代入上面 ${\theta }_n$ 的表达，令 $v_0={\theta }_1$ 展开上面的公式，可得：

$$\begin{array}{rl}{v}_n& ={\alpha }^n{v}_0+(1-\alpha )({\theta }_n+\alpha {\theta }_{n-1}+{\alpha }^2{\theta }_{n-2}+...+{\alpha }^{n-1}{\theta }_1)\\ & ={\alpha }^n{v}_0+(1-\alpha )({\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}{g}_i+\alpha ({\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-2}{g}_i)+...+{\alpha }^{n-2}({\theta }_1-\sum _{i=1}^1{g}_i)+{\alpha }^{n-1}{\theta }_1)\\ & ={\alpha }^n{v}_0+(1-\alpha )(\frac{1-{\alpha }^n}{1-\alpha }{\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1-{\alpha }^{n-i}}{1-\alpha }{g}_i)\\ & ={\alpha }^n{v}_0+(1-{\alpha }^n){\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}(1-{\alpha }^{n-i})g_i\\ & ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}(1-{\alpha }^{n-i})g_i\end{array}$$

对比两式：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_n& ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}{g}_i\\ v_n& ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}(1-{\alpha }^{n-i})g_i\end{array}$$

EMA对第i步的梯度下降的步长增加了权重系数 $1-{\alpha }^{n-i}$ ，相当于做了一个learning rate decay。

PyTorch实现

class EMA():
    def __init__(self, model, decay):
        self.model = model
        self.decay = decay
        self.shadow = {}
        self.backup = {}

    def register(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                self.shadow[name] = param.data.clone()

    def update(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.shadow
                new_average = (1.0 - self.decay) * param.data + self.decay * self.shadow[name]
                self.shadow[name] = new_average.clone()

    def apply_shadow(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.shadow
                self.backup[name] = param.data
                param.data = self.shadow[name]

    def restore(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.backup
                param.data = self.backup[name]
        self.backup = {}

# 初始化
ema = EMA(model, 0.999)
ema.register()

# 训练过程中，更新完参数后，同步update shadow weights
def train():
    optimizer.step()
    ema.update()

# eval前，apply shadow weights；eval之后，恢复原来模型的参数
def evaluate():
    ema.apply_shadow()
    # evaluate
    ema.restore()

References

1. 机器学习模型性能提升技巧：指数加权平均（EMA） (opens new window)
2. Exponential Weighted Average for Deep Neutal Networks (opens new window)
3. 【炼丹技巧】指数移动平均（EMA）的原理及PyTorch实现 (opens new window)