torch.optim.SGD

torch.optim.SGD 是 PyTorch 中用于实现随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）优化算法的类。SGD 是一种常用的优化方法，广泛用于训练深度学习模型。

1. 基本语法

torch.optim.SGD(params, lr=<required parameter>, momentum=0, dampening=0, weight_decay=0, nesterov=False)

• params：要优化的模型参数，通常传递 model.parameters()。
• lr：学习率（learning rate），控制每次参数更新的步长。学习率是 SGD 的一个重要超参数。
• momentum：动量项（Momentum），用于加速 SGD 收敛，尤其是在存在噪声的情况下。默认值为 0，表示不使用动量。
• dampening：用于控制动量的衰减，默认值为 0，即没有衰减。
• weight_decay：权重衰减（L2 正则化），用于控制模型复杂度，防止过拟合。默认值为 0，表示不使用权重衰减。
• nesterov：布尔值，表示是否使用 Nesterov 动量，默认值为 False，即不使用。

2. 随机梯度下降（SGD）

SGD 是一种逐个小批量（mini-batch）更新模型参数的优化方法。每次从数据集中随机抽取一个或多个样本进行梯度计算并更新参数。相比于标准的梯度下降（batch gradient descent）使用整个数据集计算梯度，SGD 能加速训练，但会带来一些噪声。

SGD 通过以下公式更新参数：

$$\theta =\theta -\eta {\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )$$

• $\theta$ 是模型参数。
• $\eta$ 是学习率。
• ${\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )$ 是损失函数关于 $\theta$ 的梯度。

3. 带动量的 SGD

动量是 SGD 的一种改进版本，通过在梯度更新中引入动量项，动量可以减少训练过程中的震荡，加速收敛。动量项累积之前的梯度，使得优化方向更稳定。

带动量的 SGD 更新规则为：

$$v_t=\mu v_{t-1}+\eta {\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )$$$$\theta =\theta -v_t$$

其中：

• $v_t$ 是速度（velocity），它是在梯度上累积的动量。
• $\mu$ 是动量系数，表示之前更新的权重。通常取值范围为 [0, 1]，如 0.9。

4. 带 Nesterov 动量的 SGD

Nesterov 动量是一种动量的改进版本，它在参数更新时使用了提前更新的梯度，这样可以更好地调整学习方向。Nesterov 动量的更新公式为：

$$v_t=\mu v_{t-1}+\eta {\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta -\mu v_{t-1})$$$$\theta =\theta -v_t$$

在 PyTorch 中，你可以通过设置 nesterov=True 来使用 Nesterov 动量。

5. 参数说明

• 学习率（lr）：学习率是控制优化器步长的重要参数。值太大会导致训练不稳定，太小则会收敛过慢。通常，学习率会随着训练进行而调整（如使用学习率调度器）。

• 动量（momentum）：动量在优化过程中积累之前的梯度，使得参数更新不仅考虑当前的梯度，还考虑之前的梯度。常见值为 0.9 或 0.99。

• 权重衰减（weight_decay）：权重衰减对应于 L2 正则化项，通常用于防止模型过拟合。它会对每次更新的权重进行一定的衰减。权重衰减公式如下：

$$\theta =\theta -\eta ({\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )+\lambda \theta )$$

其中 λ 是权重衰减因子，也就是 weight_decay。

• dampening：动量的衰减参数，通常与 momentum 一起使用。当 dampening 为非零值时，动量的更新会随着时间逐渐减小。默认 0 不衰减。

6. 示例代码

不带动量的 SGD

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

# 训练循环
for epoch in range(100):
    # 前向传播
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

# 梯度清零
    optimizer.zero_grad()

# 反向传播
    loss.backward()

# 更新参数
    optimizer.step()

带动量的 SGD

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 定义带动量的优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9)

# 训练循环
for epoch in range(100):
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

带 Nesterov 动量的 SGD

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 定义带 Nesterov 动量的优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9, nesterov=True)

# 训练循环
for epoch in range(100):
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

7. 注意事项

1. 学习率调整：SGD 对学习率敏感，通常需要在训练过程中使用调度器（如 torch.optim.lr_scheduler）来动态调整学习率。
2. 小批量数据：SGD 通常在小批量（mini-batch）数据上运行，这可以减少内存消耗并提高模型更新频率。
3. 动量设置：大多数情况下，使用 momentum=0.9 是一种常见的选择，尤其是当数据中有噪声时，动量能够加速收敛并减少震荡。

总结

torch.optim.SGD 是 PyTorch 中实现随机梯度下降（SGD）的优化器类。它可以通过引入动量和权重衰减等增强功能来改善模型的训练效果，特别是在深度学习中的应用。

torch.optim.Adam 是 PyTorch 中实现 Adam 优化算法的类。Adam（Adaptive Moment Estimation，自适应矩估计）是深度学习中一种非常流行的优化算法，它结合了动量法和RMSProp 的优点，能够高效处理大规模的数据并且无需手动调整学习率。

torch.optim.Adam

1. 基本语法

torch.optim.Adam(params, lr=0.001, betas=(0.9, 0.999), eps=1e-08, weight_decay=0, amsgrad=False)

• params：要优化的参数（通常传递 model.parameters()）。
• lr：学习率，控制每次更新的步长。Adam 的默认学习率是 0.001，通常比 SGD 的默认学习率小，因为 Adam 会根据梯度变化自适应调整步长。
• betas：一对控制一阶和二阶矩估计的系数。默认值为 (0.9, 0.999)，分别对应一阶矩（动量项）和二阶矩（梯度平方的指数加权移动平均）。
• eps：为了防止除以零，Adam 算法在更新时加上的一个非常小的数值。默认值是 1e-08。
• weight_decay：权重衰减，等价于 L2 正则化，用于防止模型过拟合。默认值为 0。
• amsgrad：布尔值，是否启用 AMSGrad 算法的改进版本。默认值为 False。

2. Adam 优化算法原理

Adam 算法结合了 SGD 中的动量法和 RMSProp。与标准的梯度下降方法不同，Adam 使用两个动量项：一个是梯度的动量（类似于 SGD + momentum），另一个是梯度平方的动量，用来调整学习率。

一阶和二阶矩估计

Adam 主要通过一阶和二阶矩的指数移动平均值来进行参数更新：

• 一阶矩估计：对梯度进行指数加权移动平均，类似于动量法。
• 二阶矩估计：对梯度平方进行指数加权移动平均，用于调节学习率。

更新公式如下：

1. 一阶矩动量（动量）：

$$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1)g_t$$

其中，m_t 是当前时刻的梯度一阶矩动量，g_t 是当前时刻的梯度，β_1 是一阶矩的衰减系数，通常取 0.9。

2. 二阶矩动量：

$$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)g_t^2$$

其中，v_t 是当前时刻的梯度二阶矩动量，g_t^2 是当前时刻的梯度平方，β_2 是二阶矩的衰减系数，通常取 0.999。

3. 偏差修正：为了修正初始时的偏差，Adam 引入了以下修正公式：

$$\widehat{m_t}=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t},\widehat{v_t}=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t}$$

4. 参数更新：

$${\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{\widehat{v_t}}+ϵ}\widehat{m_t}$$

其中，θ_t 是模型的参数，η 是学习率，ε 是为了避免除零的数值（默认值 1e-8）。

3. 参数解释

• lr（学习率）：Adam 的学习率默认是 0.001，通常它不需要像 SGD 那样频繁调整，因为它对不同参数使用自适应学习率。如果要微调学习率，可以根据模型的具体情况调整。

• betas（动量系数）：

  • beta1=0.9：控制一阶矩估计的衰减率。较高的 beta1 值会平滑梯度更新，但可能会导致模型学习速度变慢。
  • beta2=0.999：控制二阶矩估计的衰减率，用于调整学习率。如果 beta2 取值太小，学习率会波动过大。

• eps（小数值）：用于数值稳定性，防止除以零的错误。通常不需要调整。

• weight_decay（权重衰减）：在 Adam 中，权重衰减等价于 L2 正则化，用于防止过拟合。较大的 weight_decay 值会对模型施加更强的正则化。

• amsgrad：这个参数是 Adam 的一个改进版本。AMSGrad 通过记录历史最大值来保证优化器的收敛性。默认 False 即为标准的 Adam，True 时为 AMSGrad。

4. 示例代码

标准 Adam 优化器

import torch
import torch.optim as optim

# 定义一个简单的模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 定义 Adam 优化器
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 训练循环
for epoch in range(100):
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

# 梯度清零
    optimizer.zero_grad()

# 反向传播
    loss.backward()

# 更新参数
    optimizer.step()

带权重衰减和自适应动量的 Adam 优化器

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 带有权重衰减的 Adam 优化器
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001, weight_decay=1e-4, betas=(0.9, 0.999))

# 训练循环
for epoch in range(100):
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

启用 AMSGrad 的 Adam 优化器

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(2, 1)

# 使用 AMSGrad 的 Adam 优化器
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001, amsgrad=True)

# 训练循环
for epoch in range(100):
    outputs = model(torch.randn(10, 2))
    loss = torch.mean((outputs - torch.randn(10, 1)) ** 2)

optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

5. Adam 优化器的优缺点

优点

1. 自适应学习率：Adam 的每个参数都拥有自适应的学习率，不同参数的学习率会根据其梯度更新情况进行自动调整。
2. 动量：Adam 在参数更新中引入了动量项，有效地平滑了更新方向，减少了噪声影响，加快了收敛速度。
3. 无需手动调参：相比于 SGD，Adam 对学习率的要求相对宽松，训练过程较为稳定。
4. 高效计算：Adam 的计算效率高，占用内存小，非常适合大规模数据和模型的训练。

缺点

1. 过拟合风险：由于 Adam 可以快速适应参数变化，可能会导致过拟合，尤其是当模型复杂度较高且训练数据量较少时。
2. 学习率退化：在一些特定任务中（如自然语言处理任务），Adam 可能会导致学习率在训练后期衰减过快，从而减缓模型进一步优化的速度。
3. 较差的泛化性能：有时 Adam 优化器训练出的模型在测试集上的表现不如 SGD 优化器，尤其是当数据量较大时。

6. Adam vs. SGD

• SGD：具有更好的泛化能力，但收敛速度较慢，尤其在梯度较小或不平稳的情况下需要更大的调整。
• Adam：收敛速度更快且更稳定，适合处理稀疏数据和高维度数据，但在某些情况下泛化能力不

如 SGD。

7. 总结

torch.optim.Adam 是一种自适应优化算法，它结合了动量法和 RMSProp 的优点，使得优化过程更加高效且稳定。它适用于各种深度学习任务，尤其在处理大规模数据和高维度问题时表现出色。然而，在某些特定任务中，Adam 的泛化性能可能不如 SGD，因此在选择优化器时应根据具体任务进行调试和比较。