转换、置换、向量空间R

置换矩阵（Permutation Matrix）

$P$为置换矩阵，对任意可逆矩阵$A$有：

$PA=LU$

$n$阶方阵的置换矩阵$P$有$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=n!$个

对置换矩阵$P$，有$P^{T}P=I$

即$P^T=P^{-1}$

转置矩阵（Transpose Matrix）

$(A^T{)}_{ij}=(A{)}_{ji}$

对称矩阵（Symmetric Matrix）

$A^T$ = $A$

对任意矩阵$R$有$R^{T}R$为对称矩阵：

$$\begin{gathered} (R^{T}R{)}^T=(R{)}^T(R^T{)}^T=R^{T}R \\ \text{即}(R^{T}R{)}^T=R^{T}R \end{gathered}$$

向量空间（Vector Space）

所有向量空间都必须包含原点（Origin）；

向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中。 即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。