行列式（determinant）的性质：

1. $detI=1$，单位矩阵行列式值为一。

2. 交换行行列式变号。

   在给出第三个性质之前，先由前两个性质可知，对置换矩阵有$detP=\{\begin{array}{ll}1& even\\ -1& odd\end{array}$。

   举例：$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$，于是我们猜想，对于二阶方阵，行列式的计算公式为$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。

3. a. $\left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ tc& td\end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$。

   b. $\left|\begin{array}{cc}a+a^{\prime }& b+b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|$。

   注意：这里并不是指$det(A+B)=detA+detB$，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。

4. 如果两行相等，则行列式为零。使用性质2交换两行易证。

5. 从第$k$行中减去第$i$行的$l$倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，我们可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。

   举例：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c-la& d-lb\end{array}\right|\stackrel{3.b}{=}\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& b\\ -la& -lb\end{array}\right|\stackrel{3.a}{=}\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|-l\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|\stackrel{4}{=}\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$

6. 如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零。使用性质3.a对为零行乘以不为零系数$l$，使$ldetA=detA$即可证明；或使用性质5将某行加到为零行，使存在两行相等后使用性质4即可证明。

7. 有上三角行列式$U=\left|\begin{array}{cccc}{d}_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& d_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right|$，则$detU=d_1{d}_2\cdots d_n$。使用性质5，从最后一行开始，将对角元素上方的$\ast$元素依次变为零，可以得到型为$D=\left|\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right|$的对角行列式，再使用性质3将对角元素提出得到$d_n{d}_{n-1}\cdots d_1\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|$，得证。

8. 当矩阵$A$为奇异矩阵时，$detA=0$；当且仅当$A$可逆时，有$detA\ne 0$。如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。

   再回顾二阶情况：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\stackrel{\mathrm{消}\mathrm{元}}{\to }\left|\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d-\frac{c}{a}b\end{array}\right|=ad-bc$，前面的猜想得到证实。

9. $detAB=(detA)(detB)$。使用这一性质，$detI=det{A}^{-1}A=det{A}^{-1}detA$，所以$det{A}^{-1}=\frac{1}{detA}$。

   同时还可以得到：$det{A}^2=(detA{)}^2$，以及$det2A=2^{n}detA$，这个式子就像是求体积，对三维物体有每边翻倍则体积变为原来的八倍。

10. $det{A}^T=detA$，前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质2就有“交换列行列式变号”。

    证明：$\left|A^T\right|=\left|A\right|\to \left|U^T{L}^T\right|=\left|LU\right|\to \left|U^T\right|\left|L^T\right|=\left|L\right|\left|U\right|$，值得注意的是，$L,U$的行列式并不因为转置而改变，得证。