乘法和逆矩阵

上一讲大概介绍了矩阵乘法和逆矩阵，本讲就来做进一步说明。

矩阵乘法

行列内积：有 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $n \times p$ 矩阵 $B$ （ $A$ 的总列数必须与 $B$ 的总行数相等），两矩阵相乘有 $A B = C$ ， $C$ 是一个 $m \times p$ 矩阵，对于 $C$ 矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{i j}$ ，有：
$c_{i j} = r o w_{i} \cdot c o l u m n_{j} = \sum_{k = i}^{n} a_{i k} b_{k j}$
其中 $a_{i k}$ 是 $A$ 矩阵的第 $i$ 行第 $k$ 列元素， $b_{k j}$ 是 $B$ 矩阵的第 $k$ 行第 $j$ 列元素。

可以看出 $c_{i j}$ 其实是 $A$ 矩阵第 $i$ 行点乘 $B$ 矩阵第 $j$ 列 $[\begin{matrix} ⋮ \\ r o w_{i} \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} \dots & c o l u m n_{j} & \dots \end{matrix}] = [\begin{matrix} ⋮ \\ \dots & c_{i j} & \dots \\ ⋮ \end{matrix}]$
整列相乘：上一讲我们知道了如何计算矩阵乘以向量，而整列相乘就是使用这种线性组合的思想：

$[\begin{matrix} A_{c o l 1} & A_{c o l 2} & \dots & A_{c o l n} \end{matrix}] [\begin{matrix} \dots & b_{1 j} & \dots \\ \dots & b_{2 j} & \dots \\ \dots & ⋮ & \dots \\ \dots & b_{n j} & \dots \end{matrix}] = [\begin{matrix} \dots & (b_{1 j} A_{c o l 1} + b_{2 j} A_{c o l 2} + \dots + b_{n j} A_{c o l n}) & \dots \end{matrix}]$

上面的运算为 $B$ 的第 $j$ 个列向量右乘矩阵 $A$ ，求得的结果就是 $C$ 矩阵的第 $j$ 列，即 $C$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的列向量以 $B$ 的第 $j$ 列作为系数所求得的线性组合， $C_{j} = b_{1 j} A_{c o l 1} + b_{2 j} A_{c o l 2} + \dots + b_{n j} A_{c o l n}$ 。
整行相乘：同样的，也是利用行向量线性组合的思想：

$[\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} B_{r o w 1} \\ B_{r o w 2} \\ ⋮ \\ B_{r o w n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ⋮ \\ (a_{i 1} B_{r o w 1} + a_{i 2} B_{r o w 2} + \dots + a_{i n} B_{r o w n}) \\ ⋮ \end{matrix}]$

上面的运算为 $A$ 的第 $i$ 个行向量左乘矩阵 $B$ ，求得的结果就是 $C$ 矩阵的第 $i$ 行，即 $C$ 的第 $i$ 行是 $B$ 的行向量以 $A$ 的第 $i$ 行作为系数所求得的线性组合， $C_{i} = a_{i 1} B_{r o w 1} + a_{i 2} B_{r o w 2} + \dots + a_{i n} B_{r o w n}$ 。
列乘以行：用 $A$ 矩阵的列乘以 $B$ 矩阵的行，得到的矩阵相加即可：

$[\begin{matrix} A_{c o l 1} & A_{c o l 2} & \dots & A_{c o l n} \end{matrix}] [\begin{matrix} B_{r o w 1} \\ B_{r o w 2} \\ ⋮ \\ B_{r o w n} \end{matrix}] = A_{c o l 1} B_{r o w 1} + A_{c o l 2} B_{r o w 2} + \dots + A_{c o l n} B_{r o w n}$

注意， $A_{c o l i} B_{r o w i}$ 是一个 $m \times 1$ 向量乘以一个 $1 \times p$ 向量，其结果是一个 $m \times p$ 矩阵，而所有的 $m \times p$ 矩阵之和就是计算结果。
分块乘法： $[\begin{array}{cc} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{array}] [\begin{array}{cc} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{array}] = [\begin{array}{cc} A_{1} B_{1} + A_{2} B_{3} & A_{1} B_{2} + A_{2} B_{4} \\ A_{3} B_{1} + A_{4} B_{3} & A_{3} B_{2} + A_{4} B_{4} \end{array}]$

在分块合适的情况下，可以简化运算。

逆（方阵）

首先，并不是所有的方阵都有逆；而如果逆存在，则有 $A^{- 1} A = I = A A^{- 1}$ 。教授这里提前剧透，对于方阵，左逆和右逆是相等的，但是对于非方阵（长方形矩阵），其左逆不等于右逆。

对于这些有逆的矩阵，我们称其为可逆的或非奇异的。我们先来看看奇异矩阵（不可逆的）： $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}]$ ，在后面将要学习的行列式中，会发现这个矩阵的行列式为 $0$ 。

观察这个方阵，我们如果用另一个矩阵乘 $A$ ，则得到的结果矩阵中的每一列应该都是 $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]$ 的倍数，所以我们不可能从 $A B$ 的乘积中得到单位矩阵 $I$ 。

另一种判定方法，如果存在非零向量 $x$ ，使得 $A x = 0$ ，则矩阵 $A$ 不可逆。我们来用上面的矩阵为例： $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$ 。

证明：如果对于非零的 $x$ 仍有 $A x = 0$ ，而 $A$ 有逆 $A^{- 1}$ ，则 $A^{- 1} A x = 0$ ，即 $x = 0$ ，与题设矛盾，得证。

现在来看看什么矩阵有逆，设 $A = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}]$ ，我们来求 $A^{- 1}$ 。 $[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ ，使用列向量线性组合的思想，我们可以说 $A$ 乘以 $A^{- 1}$ 的第 $j$ 列，能够得到 $I$ 的第 $j$ 列，这时我会得到一个关于列的方程组。

接下来介绍高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法，该方法可以一次处理所有的方程：

这个方程组为 ${\begin{cases} [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} c \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] \end{cases}$ ，我们想要同时解这两个方程；
构造这样一个矩阵 $[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \end{array}]$ ，接下来用消元法将左侧变为单位矩阵；
$[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \end{array}] \overset{r o w_{2} - 2 r o w_{1}}{\to} [\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \end{array}] \overset{r o w_{1} - 3 r o w_{2}}{\to} [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & - 3 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]$
于是，我们就将矩阵从 $[\begin{array}{cc} A & I \end{array}]$ 变为 $[\begin{array}{cc} I & A^{- 1} \end{array}]$

而高斯-若尔当法的本质是使用消元矩阵 $E$ ，对 $A$ 进行操作， $E [\begin{array}{cc} A & I \end{array}]$ ，利用一步步消元有 $E A = I$ ，进而得到 $[\begin{array}{cc} I & E \end{array}]$ ，其实这个消元矩阵 $E$ 就是 $A^{- 1}$ ，而高斯-若尔当法中的 $I$ 只是负责记录消元的每一步操作，待消元完成，逆矩阵就自然出现了。

#线性代数

上次更新: 2025/02/26, 08:57:57

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