对于$m\times n$矩阵$A$，$rank(A)=r$有：

• 行空间$C(A^T)\in {\mathbb{R}}^n,dimC(A^T)=r$，基见例1。

• 零空间$N(A)\in {\mathbb{R}}^n,dimN(A)=n-r$，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。

• 列空间$C(A)\in {\mathbb{R}}^m,dimC(A)=r$，主元所在的列即可组成列空间的一组基。

• 左零空间$N(A^T)\in {\mathbb{R}}^m,dimN(A^T)=m-r$，基见例2。

例1，对于行空间 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}、\mathrm{化}\mathrm{简}}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$

由于我们做了行变换，所以A的列空间受到影响，$C(R)\ne C(A)$，而行变换并不影响行空间，所以可以在$R$中看出前两行就是行空间的一组基。

所以，可以得出无论对于矩阵$A$还是$R$，其行空间的一组基，可以由$R$矩阵的前$r$行向量组成（这里的$R$就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。

例2，对于左零空间，有$A^{T}y=0\to (A^{T}y{)}^T=0^T\to y^{T}A=0^T$，因此得名。

采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}{A}_{m\times n}& I_{m\times m}\end{array}\right]$中$A$的部分划为简化行阶梯形式$\left[\begin{array}{cc}{R}_{m\times n}& E_{m\times m}\end{array}\right]$，此时矩阵$E$会将所有的行变换记录下来。

则$EA=R$，而在前几讲中，有当$A^{\prime }$是$m$阶可逆方阵时，$R^{\prime }$即是$I$，所以$E$就是$A^{-1}$。

本例中

$$\left[\begin{array}{cc}{A}_{m\times n}& I_{m\times m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 2& 1& 0& 1& 0\\ 1& 2& 3& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}、\mathrm{化}\mathrm{简}}\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 1& -1& 2& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{m\times n}& E_{m\times m}\end{array}\right]$$

则

$$EA=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$$

很明显，式中$E$的最后一行对$A$的行做线性组合后，得到$R$的最后一行，即$0$向量，也就是$y^{T}A=0^T$。

最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。

举例，设所有$3\times 3$矩阵组成的矩阵空间为$M$。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。

观察一下对角矩阵，如果取 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$ ，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。