单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

模型表示(Model Representation)

1. 房价预测训练集

Size in $fee{t}^2$ ($x$)	Price ($) in 1000's($y$)
2104	460
1416	232
1534	315
852	178
...	...

房价预测训练集中，同时给出了输入 $x$ 和输出结果 $y$，即给出了人为标注的"正确结果"，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。

2. 问题解决模型

其中 $h$ 代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 $X\to Y$ 的映射。

$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$，为解决房价问题的一种可行表达式。

$x$: 特征/输入变量。

上式中，$\theta$ 为参数，$\theta$ 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 $x$ 被我们视作已知(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得 $\theta$ 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。

单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。

代价函数(Cost Function)

我们的目的在于求解预测结果 $h$ 最接近于实际结果 $y$ 时 $\theta$ 的取值，则问题可表达为求解 $\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})$ 的最小值。

$m$: 训练集中的样本总数

$y$: 目标变量/输出变量

$(x,y)$: 训练集中的实例

$(x^{\left(i\right)},y^{\left(i\right)})$: 训练集中的第 $i$ 个样本实例

假设函数(Hypothesis): $h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$

参数(Parameters): ${\theta }_0,{\theta }_1$

代价函数(Cost Function): $J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})}^2$

目标(Goal): $\underset{{\theta }_0,{\theta }_1}{\text{minimize}}J({\theta }_0,{\theta }_1)$

为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 ${\theta }_1=0$，并假设训练集有三个数据，分别为$(1,1),(2,2),(3,3)$，这样在平面坐标系中绘制出 $h_{\theta }\left(x\right)$ ，并分析 $J({\theta }_0,{\theta }_1)$ 的变化。

右图 $J({\theta }_0,{\theta }_1)$ 随着 ${\theta }_1$ 的变化而变化，可见当 ${\theta }_1=1$ 时，$J({\theta }_0,{\theta }_1)=0$，取得最小值对应于左图青色直线，即函数 $h$ 拟合程度最好的情况。

参数在 ${\theta }_0$ 不恒为 $0$ 时代价函数 $J\left(\theta \right)$ 关于 ${\theta }_0,{\theta }_1$ 的**轮廓图(contour plot)**如下图所示，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 $J\left(\theta \right)$ 值）。

${\theta }_0=360,{\theta }_1=0$ 时：

大概在 ${\theta }_0=250,{\theta }_1=0.12$ 时：

上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应 $h_{\theta }\left(x\right)$ 对数据的拟合情况如左图所示。

为了求解最小值，引入了代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：

$$J({\theta }_0,{\theta }_1)={\displaystyle \frac{1}{2m}}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{({\hat{y}}_i-y_i)}^2={\displaystyle \frac{1}{2m}}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{(h_{\theta }(x_i)-y_i)}^2}}$$

$\hat{y}$: $y$ 的预测值

系数 $\frac{1}{2}$ 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 $\frac{1}{2}$ 。

讨论到这里，我们的问题就转化成了求解 $J({\theta }_0,{\theta }_1)$ 的最小值。

最小二乘法（least square method）就是基于均方误差最小化来进行模型求解的一种方法，寻找可使损失函数值最小的参数 $w$ 和 $b$ 的过程称为最小二乘参数估计（parameter estimation）。

通过对损失函数分别求参数 $w$ 和 $b$ 的偏导，并且令导数为 0，可以得到这两个参数的闭式（closed-form）解（也即解析解）：

$$\begin{gathered} w=\frac{\sum _{i=1}^m{y}_i(x_i-\overline{x})}{\sum _{i=1}^m{x}_i^2-\frac{1}{m}(\sum _{i=1}^m{x}_i{)}^2} \\ b=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i) \end{gathered}$$

在实际任务中，只要我们把自变量（x, y, m）的值代入就可以求出数值解了。

为什么可以这样求解呢？因为损失函数是一个凸函数（记住是向下凸，类似 U 型曲线），导数为 0 表示该函数曲线最低的一点，此时对应的参数值就是能使均方误差最小的参数值。特别地，要判断一个函数是否凸函数，可以求其二阶导数，若二阶导数在区间上非负则称其为凸函数，若在区间上恒大于零则称其为严格凸函数。

凸函数： $f(\frac{x_1+x_2}{2})\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

梯度下降(Gradient Descent)

在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 $J\left(\theta \right)$ 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的 $\theta$ 值。

梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合$({\theta }_0,{\theta }_1,......,{\theta }_n)$ 起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。

下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。

视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。

梯度下降公式：

$$\begin{array}{rl}& \text{Repeat until convergence:}\{\\ & {\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)\\ \}\end{array}$$

${\theta }_j$: 第 $j$ 个特征参数

”:=“: 赋值操作符

$\alpha$: 学习速率(learning rate), $\alpha >0$

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)$: $J({\theta }_0,{\theta }_1)$ 的偏导

公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。

注意，在计算时要批量更新 $\theta$ 值，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。

梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)

该节探讨 ${\theta }_1$ 的梯度下降更新过程，即 ${\theta }_1:={\theta }_1-\alpha \frac{d}{d{\theta }_1}J\left({\theta }_1\right)$，此处为了数学定义上的精确性，用的是 $\frac{d}{d{\theta }_1}J\left({\theta }_1\right)$，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 $\frac{\partial }{\partial \theta }$ 即可。

把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 $J\left(\theta \right)$ 在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ，${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)$ 右边的结果是一个正值，即 ${\theta }_1$ 会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为 0）。

初始 $\theta$ 值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（${\theta }_1:={\theta }_1-\alpha \ast 0$）。

不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。

对于学习速率 $\alpha$，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。

• 学习速率过小图示：

  

  收敛的太慢，需要更多次的迭代。

• 学习速率过大图示：

  

  可能越过最低点，甚至导致无法收敛。

学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于 0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。

如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。

最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。

线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)

线性回归模型

• $h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$
• $J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})}^2$

梯度下降算法

$$\begin{array}{rl}& \text{Repeat until convergence:}\{\\ & {\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)\\ \}\end{array}$$

直接将线性回归模型公式代入梯度下降公式可得出公式

当 $j=0,j=1$ 时，线性回归中代价函数求导的推导过程：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_1,{\theta }_2)& =\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\left(\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})}^2\right)\\ & =(\frac{1}{2m}\ast 2\sum _{i=1}^m(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}))\ast \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})\\ & =\left(\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})\right)\ast \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}({\theta }_0{x}_0^{(i)}+{\theta }_1{x}_1^{(i)}-y^{(i)})\end{array}$$

所以当 $j=0$ 时：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_0}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})\ast x_0^{(i)}$$

所以当 $j=1$ 时：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)})\ast x_1^{(i)}$$

上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 $\left(\sum _{i=1}^m\right)$ 更新。

由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 $J$ 被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。

另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用**向量化(Vectorization)**来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。