第八讲：求解$Ax=b$：可解性和解的结构

举例，同上一讲：$3\times 4$矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$，求$Ax=b$的特解：

写出其增广矩阵（augmented matrix）$\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}}\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right]$$

显然，有解的必要条件为$b_3-b_2-b_1=0$。

讨论$b$满足什么条件才能让方程$Ax=b$有解（solvability condition on b）：当且仅当$b$属于$A$的列空间时。另一种描述：如果$A$的各行线性组合得到$0$行，则$b$端分量做同样的线性组合，结果也为$0$时，方程才有解。

解法：令所有自由变量取$0$，则有$\{\begin{array}{rclrc}{x}_1& +& 2x_3& =& 1\\ & & 2x_3& =& 3\end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -2\\ x_3& =& \frac{3}{2}\end{array}$ ，代入$Ax=b$求得特解 $x_p=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]$。

令$Ax=b$成立的所有解：

$$\{\begin{array}{rclr}A& x_p& =& b\\ A& x_n& =& 0\end{array}\underrightarrow{\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{加}}A(x_p+x_n)=b$$

即$Ax=b$的解集为其特解加上零空间，对本例有： $x_{complete}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

对于$m\times n$矩阵$A$，有矩阵$A$的秩$r\le min(m,n)$

列满秩$r=n$情况： $A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\\ 6& 1\\ 5& 1\end{array}\right]$ ，$rank(A)=2$，要使$Ax=b,b\ne 0$有非零解，$b$必须取$A$中各列的线性组合，此时A的零空间中只有$0$向量。

行满秩$r=m$情况： $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 6& 5\\ 3& 1& 1& 1\end{array}\right]$ ，$rank(A)=2$，$\mathrm{\forall }b\in R^m\mathrm{都}\mathrm{有}x\ne 0\mathrm{的}\mathrm{解}$，因为此时$A$的列空间为$R^m$，$b\in R^m$恒成立，组成$A$的零空间的自由变量有n-r个。

行列满秩情况：$r=m=n$，如 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ ，则$A$最终可以化简为$R=I$，其零空间只包含$0$向量。

总结：

$$\begin{array}{cccc}r=m=n& r=n<m& r=m<n& r<m,r<n\\ R=I& R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]& R=\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]& R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]\\ 1solution& 0or1solution& \mathrm{\infty }solution& 0or\mathrm{\infty }solution\end{array}$$