上一讲中，我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论，本讲将继续使用这三条基本性质：

1. $detI=1$；
2. 交换行行列式变号；
3. 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变；

我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ c& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ 0& d\end{array}\right|=ad-bc$$

按照这个方法，我们继续计算三阶方阵的行列式，可以想到，我们保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，我们只需要找到不为零的行列式，求和即可。

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& a_{32}& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ a_{21}& 0& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ 0& 0& a_{23}\\ a_{31}& 0& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ a_{21}& 0& 0\\ 0& a_{32}& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ 0& a_{22}& 0\\ a_{31}& 0& 0\end{array}\right|$$$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{原}\mathrm{式}=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$$

同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知$n$阶行列式应该可以分解成$n!$个非零行列式（占据第一行的元素有$n$种选择，占据第二行的元素有$n-1$种选择，以此类推得$n!$）：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& detA=\sum _{n!}\pm a_{1\alpha }{a}_{2\beta }{a}_{3\gamma }\cdots a_{n\omega },(\alpha ,\beta ,\gamma ,\omega )=P_n^n\end{array}$$

这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：

$$\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \bar{1}& \underset{―}{1}\\ 0& \bar{1}& \underset{―}{1}& 0\\ \bar{1}& \underset{―}{1}& 0& 0\\ \underset{―}{1}& 0& 0& \bar{1}\end{array}\right|$$

• 观察带有下划线的元素，它们的排列是$(4,3,2,1)$，变为$(1,2,3,4)$需要两步操作，所以应取$+$；
• 观察带有上划线的元素，它们的排列是$(3,2,1,4)$，变为$(1,2,3,4)$需要一步操作，所以应取$-$。
• 观察其他元素，我们无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。

此处引入代数余子式（cofactor）的概念，它的作用是把$n$阶行列式化简为$n-1$阶行列式。

于是我们把$(1)$式改写为：

$$a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})+a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$$$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ a_{21}& 0& a_{23}\\ a_{31}& 0& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& 0\end{array}\right|$$

于是，我们可以定义$a_{ij}$的代数余子式：将原行列式的第$i$行与第$j$列抹去后得到的$n-1$阶行列式记为$C_{ij}$，$i+j$为偶时时取$+$，$i+j$为奇时取$-$。

现在再来完善式子$(2)$：将行列式$A$沿第一行展开：

$$detA=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$$

到现在为止，我们了解了三种求行列式的方法：

1. 消元，$detA$就是主元的乘积；
2. 使用$(2)$式展开，求$n!$项之积；
3. 使用代数余子式。